Exprimer en fonction de xx la composée de deux fonctions - Exercice 3

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Soient ff et gg les fonctions définies par f(x)=sin⁡(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right) et g(x)=x3+4x2−2x+3g\left(x\right)=x^{3}+4x^{2}-2x+3 .
Question 1

Calculer (f∘g)(x)\left(f\circ g\right)\left(x\right) en fonction de xx .

Correction
(f∘g)(x)=f(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)
f(g(x))f\left(\red{g\left(x\right)}\right) se définit comme l'image de g(x)\red{g\left(x\right)} par la fonction ff. Calculatoirement, il suffit de remplacer les xx par g(x)\red{g\left(x\right)} dans l'expression de ff.
(f∘g)(x)=f(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(\red{g\left(x\right)}\right)
(f∘g)(x)=sin⁡(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\sin\left(\red{g\left(x\right)}\right)
(f∘g)(x)=sin⁡(x3+4x2−2x+3)\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\sin\left(\red{x^{3}+4x^{2}-2x+3}\right)
Ainsi :
(f∘g)(x)=sin⁡(x3+4x2−2x+3)\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\sin\left(x^{3}+4x^{2}-2x+3\right)
Question 2

Calculer (g∘f)(x)\left(g\circ f\right)\left(x\right) en fonction de xx .

Correction
(g∘f)(x)=g(f(x))\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)
g(f(x))g\left(\blue{f\left(x\right)}\right) se définit comme l'image de f(x)\blue{f\left(x\right)} par la fonction gg. Calculatoirement, il suffit de remplacer les xx par f(x)\blue{f\left(x\right)} dans l'expression de gg.
(g∘f)(x)=g(f(x))\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(\blue{f\left(x\right)}\right)
(g∘f)(x)=(f(x))3+4(f(x))2−2f(x)+3\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\left(\blue{f\left(x\right)}\right)^{3}+4\left(\blue{f\left(x\right)}\right)^{2}-2\blue{f\left(x\right)}+3
(g∘f)(x)=(sin⁡(x))3+4(sin⁡(x))2−2sin⁡(x)+3\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\left(\blue{\sin\left(x\right)}\right)^{3}+4\left(\blue{\sin\left(x\right)}\right)^{2}-2\blue{\sin\left(x\right)}+3
Ainsi :
(g∘f)(x)=(sin⁡(x))3+4(sin⁡(x))2−2sin⁡(x)+3\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\left(\sin \left(x\right)\right)^{3} +4\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} -2\sin \left(x\right)+3

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