Exprimer en fonction de xx la composée de deux fonctions - Exercice 4

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Soient ff et gg les fonctions définies par f(x)=6x2+9xf\left(x\right)=6x^2+9x et g(x)=1xg\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Question 1

Calculer (f∘g)(x)\left(f\circ g\right)\left(x\right) en fonction de xx .

Correction
(f∘g)(x)=f(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)
f(g(x))f\left(\red{g\left(x\right)}\right) se définit comme l'image de g(x)\red{g\left(x\right)} par la fonction ff. Calculatoirement, il suffit de remplacer les xx par g(x)\red{g\left(x\right)} dans l'expression de ff.
(f∘g)(x)=f(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(\red{g\left(x\right)}\right)
(f∘g)(x)=6(g(x))2+9g(x)\left(f\circ g\right)\left(x\right)=6\red{\left(g\left(x\right)\right)^{2}}+9\red{g\left(x\right)}
(f∘g)(x)=6×(1x)2+9×1x\left(f\circ g\right)\left(x\right)=6\times\red{\left(\frac{1}{x}\right)^{2}}+9\times\red{\frac{1}{x}}
(f∘g)(x)=6×1x2+9×1x\left(f\circ g\right)\left(x\right)=6\times \frac{1}{x^{2} } +9\times \frac{1}{x}
Ainsi :
(f∘g)(x)=6x2+9x\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{6}{x^{2} } +\frac{9}{x}
Question 2

Calculer (g∘f)(x)\left(g\circ f\right)\left(x\right) en fonction de xx .

Correction
(g∘f)(x)=g(f(x))\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)
g(f(x))g\left(\blue{f\left(x\right)}\right) se définit comme l'image de f(x)\blue{f\left(x\right)} par la fonction gg. Calculatoirement, il suffit de remplacer les xx par f(x)\blue{f\left(x\right)} dans l'expression de gg.
(g∘f)(x)=g(f(x))\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(\blue{f\left(x\right)}\right)
(g∘f)(x)=1f(x)\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{1}{\blue{f\left(x\right)}}
(g∘f)(x)=16x2+9x\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{1}{\blue{6x^2+9x}}
Ainsi :
(g∘f)(x)=16x2+9x\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{1}{6x^2+9x}

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