Baccalauréat STI2D La Réunion 28 mars 2023 : exercice $$1$$ - Exercice 1

Soit l’équation différentielle $$y' = −0,044y +0,88$$ .
On identifie ici que : $$a=-0,044$$ et $$b=0,88$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(t\right)=ke^{-0,044t} -\frac{0,88}{\left(-0,044\right)}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.

D'après la question précédente, où $$k$$ est une constante réelle.
Or nous savons que $$f\left(0\right) = 60$$. Ce qui va nous permettre de déterminer la valeur de $$k$$ .
$$f\left(0\right) = 60$$ équivaut successivement à :
$$ke^{-0,044\times 0}+20=60$$
$$ke^0+20=60$$ . Or $$e^0=1$$ .
$$k+20=60$$
$$k=60-20$$
Ainsi :
En prenant $$f\left(0\right) = 60$$, l'expression de $$f$$ est alors :

L’évolution de la température (en °C ) de la boisson en fonction du temps (en heure) est modélisée par la fonction $$f\left(t\right)=40e^{-0,044t}+20$$ .
La température de la boisson au bout de $$8$$ heures est obtenue à l'aide du calcul de l'image de $$8$$ par $$f$$.
Ainsi :
$$f\left(8\right)=40e^{-0,044\times8}+20$$
$$f\left(8\right)\approx48,1$$ .
La température de la boisson au bout de $$8$$ heures est de $$48,1$$°C .
Sachant que la température initiale de la boisson est de $$60$$°C alors la variation de température est donc en degrés égale à : $$60-48,1=11,9$$°C
La variation de température d’une boisson doit être inférieure ou égale à $$5$$ °C avec une tolérance de $$0,5$$ °C au bout de 8 heures ce qui n'est pas notre cas car la variation est de $$11,9$$°C