On considère l’équation différentielle (E):y′=−y+2.
Question 1
Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) .
Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+b où a et b sont deux réels, avec a=0 , et où y est une fonction de la variable x définie et dérivable sur R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−ab où k est une constante réelle.
La fonction f0(x)=−ab est appeleˊe solution particulieˋre constante de l'équation différentielle.
Soit l’équation différentielle y′=−y+2 . On identifie ici que : a=−1 et b=2. Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(t)=ke−t−(−1)2 où k est une constante réelle. Finalement :
f(t)=ke−t+2
où k est une constante réelle.
Question 2
En déduire la solution f de l’équation différentielle (E) qui s’annule en 0.
Correction
D'après la question précédente,
f(t)=ke−t+2
où k est une constante réelle. Nous cherchons la solution f de l’équation différentielle (E) qui s’annule en 0 c'est à dire f(0)=0. Ce qui va nous permettre de déterminer la valeur de k . f(0)=0 équivaut successivement à : ke−0+2=0 ke0+2=0 . Or e0=1 . k+2=0 Ainsi :
k=−2
En prenant f(0)=0, l'expression de f est alors :
f(t)=−2e−t+2
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