Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Sujet 00 Métropole-La Réunion Mars 2021 - Exercice 1

10 min
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On considère l’équation différentielle y′+5y=7y'+5y=7 où yy est une fonction de la variable tt, définie et dérivable sur R\mathbb{R}
Question 1

Résoudre cette équation différentielle.

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • L’équation différentielle y′+5y=7y'+5y=7 s'écrit alors y′=−5y+7y'=-5y+7
    On identifie ici que : a=−5a=-5 et b=7b=7.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(t)=ke−5t−7(−5)f\left(t\right)=ke^{-5t} -\frac{7}{\left(-5\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(t)=ke−5t+75f\left(t\right)=ke^{-5t} +\frac{7}{5}
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    Préciser l’expression de la solution ff vérifiant f(0)=4f\left(0\right) = 4.

    Correction
    D'après la question précédente, nous savons que : f(t)=ke−5t+75f\left(t\right)=ke^{-5t} +\frac{7}{5} où kk est une constante réelle.
    Or on sait que f(0)=4f\left(0\right) = 4 , il vient alors que :
    f(0)=4f\left(0\right) = 4 équivaut successivement à :
    ke−5×0+75=4ke^{-5\times 0} +\frac{7}{5}=4
    ke0+75=4ke^{0}+\frac{7}{5}=4 or e0=1e^{0}=1
    k+75=4k+\frac{7}{5}=4
    k=4−75k=4-\frac{7}{5}
    k=4×51×5−75k=\frac{4\times5}{1\times5}-\frac{7}{5}
    k=205−75k=\frac{20}{5}-\frac{7}{5}
    D'où : k=135k=\frac{13}{5}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′+5y=7y'+5y=7 tel que f(0)=4f\left(0\right)=4 est alors :
    f(x)=135e−5t+75f\left(x\right)=\frac{13}{5}e^{-5t} +\frac{7}{5}

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