Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Équations différentielles - Enseignement de spécialité

Question 1

Le bassin d’une piscine municipale a une capacité de

600000

litres d’eau. Aﬁn de respecter les normes d’hygiène et de sécurité,

30000

litres d’eau de la piscine sont renouvelés chaque heure et le taux de chlore maximum autorisé est de

0,25

mg/L.
Un soir après la fermeture de la piscine, alors que le taux de chlore est indétectable,

1

kg de chlore est déversé par erreur dans le bassin à

20

h.
Le directeur de la piscine souhaiterait savoir quand il pourra ouvrir à nouveau la piscine au public. On modélise la concentration massique du chlore présent dans la piscine par une fonction

f

. Lorsque

t

désigne le temps écoulé depuis l’accident, exprimé en heures,

f(t)

représente la concentration massique du chlore présent dans la piscine en milligrammes par litre. On admet que la fonction

f

est solution de l’équation différentielle

(E)

:

y'+0,05y=0

où

y

désigne une fonction de la variable

t

.

Résoudre l’équation différentielle $(E)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'+ay=b

où

a

et

b

sont deux réels, avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{-ax} +\frac{b}{a}

où

k

est une constante réelle.

L'équation différentielle à résoudre est :

y'+0,05y=0

On identifie ici que :

a=0,05

et

b=0

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(t\right)=ke^{-0,05t} +\frac{0}{0,05}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(t\right)=ke^{-0,05t}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

Que vaut $f\left(0\right)$ ? En déduire une expression de $f\left(t\right)$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$

Correction

Au moment de l’accident, à

20

h, le taux de chlore est indétectable donc à

0

. On verse accidentellement 1 kg de chlore dans la piscine, ce qui fait

1000000

mg pour

600000

litres d’eau, soit une concentration de

\frac{1000000}{600000}=\frac{5}{3}

mg/L.
Il en résulte que :

f\left(0\right)=\frac{5}{3}

, il vient alors que :

f\left(0\right)=\frac{5}{3}

équivaut successivement à :

ke^{-0,05\times 0}=\frac{5}{3}

ke^{0}=\frac{5}{3}

or

e^{0}=1

D'où :

k=\frac{5}{3}

Il en résulte que la solution de l'équation différentielle

y'+0,05y=0

tel que

f\left(0\right)=\frac{5}{3}

est alors :

f\left(t\right)=\frac{5}{3}e^{-0,05t}

Question 3

À quel moment la piscine pourra-t-elle ouvrir de nouveau au public?

Correction

La piscine pourra ouvrir au public à partir du moment

t

où

f\left(t\right) \le 0,25

; on résout cette inéquation :

f\left(t\right) \le 0,25

équivaut successivement à :

\frac{5}{3}e^{-0,05t} \le 0,25

e^{-0,05t} \le 0,25\times \frac{3}{5}

e^{-0,05t} \le 0,15

e^{-0,05t}\le e^{\ln \left(0,15\right)}

-0,05t\le \ln \left(0,15\right)

t\ge \frac{\ln \left(0,15\right)}{-0,05}

t\approx38

Donc on pourra réouvrir la piscine au bout de

38

heures, soit à

10

heures le surlendemain de l’accident.

Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 2

Résoudre l’équation différentielle (E)(E)(E).

Que vaut f(0)f\left(0\right)f(0)? En déduire une expression de f(t)f\left(t\right)f(t) sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty \right[[0;+∞[

À quel moment la piscine pourra-t-elle ouvrir de nouveau au public?

Résoudre l’équation différentielle $(E)$ .

Que vaut $f\left(0\right)$ ? En déduire une expression de $f\left(t\right)$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$