Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 4

Nous devons résoudre : $$y'+y=0$$
On identifie ici que : $$a=1$$ et $$b=0$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{-x} +\frac{0}{1}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$f\left(x\right)=ke^{-x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.

$$g$$ est une solution de l'équation $$y'+y=2e^{-x}$$ si et seulement si $$g'\left(x\right)+g\left(x\right)=2e^{-x}$$.
Il nous faut donc commencer par calculer la dérivée de $$g$$.
Soit $$g\left(x\right)=2xe^{-x}$$. $$g$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$.
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=2e^{-x} +2x\times \left(-e^{-x} \right)$$
Ainsi :

De plus :
$$g'\left(x\right)+g\left(x\right)=e^{-x} \left(2-2x \right)+2xe^{-x}$$
$$g'\left(x\right)+g\left(x\right)=e^{-x} \left(2-2x+2x \right)$$
Il en résulte donc que :
.
Finalement, $$g$$ est bien une solution de $$y'+y=2e^{-x}$$.