Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 5

D’après l'énoncé de l'exercice, on sait que : $$E =10$$, $$R=10^{5}$$ et $$C=10^{-6}$$ .
L'équation $$RCu'+u=E$$ équivaut successivement à :
$$10^{5}\times10^{-6}\times u'+u=10$$
$$10^{-1}\times u'+u=10$$. On multiplie ensuite tous les membres par $$10$$, il vient alors que :

L'équation différentielle à résoudre est : $$u'+10u=100$$
On identifie ici que : $$a=10$$ et $$b=100$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$u\left(t\right)=ke^{-10t} +\frac{100}{10}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$u\left(t\right)=ke^{-10t}+10$$ où $$k$$ est une constante réelle.

Nous savons que $$u\left(t\right)=ke^{-10t}+10$$ où $$k$$ est une constante réelle et que $$u\left(0\right)=0$$.
Ainsi :
$$u\left(0\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$ke^{-10\times0}+10=0$$
$$ke^{0}+10=0$$
$$k+10=0$$
$$k=-10$$
Finalement, l’unique fonction $$u$$ telle que $$u\left(0\right)=0$$ est définie par :

D'après le cours, nous savons que :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } e^{-x}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{e^{x}}=0$$
Ainsi :
$$\lim\limits_{t\to +\infty } e^{-t}=0$$
Donc : $$\lim\limits_{t\to +\infty } -10e^{-t}=0$$
Finalement :
Cela signifie que la charge du condensateur tend vers $$10$$ volts quand le temps $$t$$ augmente indéfiniment.

On appelle $$T$$ le temps de charge en seconde pour que $$u\left(t\right)$$ soit égal à $$95$$% de $$E$$. Or $$E =10$$ donc $$95$$% de $$E$$ est égal à $$9,5$$.
On détermine graphiquement le temps de charge $$T$$ . On trouve $$T\approx0,3$$ seconde.

On détermine le temps de charge par le calcul en résolvant l’équation $$u\left(t\right)=9,5$$
$$u\left(t\right)=9,5$$ équivaut successivement à :
$$10-10e^{-10t} =9,5$$
$$-10e^{-10t} =-0,5$$
$$e^{-10t} =\frac{-0,5}{-10}$$
$$e^{-10t} =0,05$$
$$\ln \left(e^{-10t} \right)=\ln \left(0,05\right)$$
$$-10t=\ln \left(0,05\right)$$
$$t=\frac{\ln \left(0,05\right)}{-10}$$

En conservant les valeurs de $$C$$ et de $$E$$, on obtient l’équation différentielle $$R\times10^{-6}\times u'+u=10$$ que l'on peut également écrire : $$u'+\frac{10^{6} }{R} u=\frac{10^{6} }{R} \times 10$$
L'équation différentielle à résoudre est : $$u'+\frac{10^{6} }{R} u=\frac{10^{6} }{R} \times 10$$. On identifie ici que : $$a=\frac{10^{6} }{R}$$ et $$b=\frac{10^{6} }{R} \times 10$$.
Ainsi : $$u\left(t\right)=ke^{-\frac{10^{6} }{R} t} +10$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Nous savons que $$u\left(0\right)=0$$ , nous trouverons dans ce cas $$k=-10$$.
Nous obtiendrons alors
Il nous faut maintenant résoudre l'équation : $$u\left(t\right)=9,5$$.
$$u\left(t\right)=9,5$$ équivaut successivement à :
$$-10e^{-\frac{10^{6} }{R} t} +10=9,5$$
$$-10e^{-\frac{10^{6} }{R} t} =9,5-10$$
$$-10e^{-\frac{10^{6} }{R} t} =-0,5$$
$$e^{-\frac{10^{6} }{R} t} =\frac{-0,5}{-10}$$
$$e^{-\frac{10^{6} }{R} t} =0,05$$
$$\ln \left(e^{-\frac{10^{6} }{R} t} \right)=\ln \left(0,05\right)$$
$$-\frac{10^{6} }{R} t=\ln \left(0,05\right)$$
$$t=\frac{\ln \left(0,05\right)}{-\frac{10^{6} }{R} }$$

Donc le temps de charge est proportionnel à la résistance; il suffit de doubler la valeur de la résistance pour que le temps de charge soit multiplié par deux.