Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 6

10 min

Un procédé de filtration de l’eau de la base nautique au charbon actif permettrait d’éliminer plus rapidement le benzène présent à la surface du bassin. Le coût total de l’installation est de

20

000

euros. Le responsable étudie cette solution. L’action du filtre commencerait alors le

13

juin

2018

. À la mise en service, à l’instant

t =0

, le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin serait de

54,7

microgrammes par litre.

Question 1

Il choisit de modéliser la concentration de benzène en microgrammes par litre à la surface du bassin, en fonction du temps

t

exprimé en jours, par une fonction

f

, définie sur

\left[0 ; +\infty\right[

et vérifiant l’équation différentielle :

\left(E\right):y'+\frac{1}{4} y=0

Résoudre dans l’intervalle $\left[0 ; +\infty\right[$ l'équation différentielle $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'+ay=b

où

a

b

sont deux réels, avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{-ax} +\frac{b}{a}

où

k

est une constante réelle.

L'équation différentielle à résoudre est :

y'+\frac{1}{4} y=0

On identifie ici que :

a=\frac{1}{4}=0,25

b=0

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(t\right)=ke^{-0,25t} +\frac{0}{0,25}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(t\right)=ke^{-0,25t}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

Justifier que pour tout $t\ge 0$ , $f\left(t\right)=54,7e^{-0,25t}$ .

Correction

t =0

, la concentration du bassin est de

54,7

µg/L donc

f\left(0\right)=54,7

ce qui équivaut à :

ke^{-0,25\times 0}=54,7

ke^{ 0}=54,7

k=54,7

Finalement, pour tout

t\ge 0

f\left(t\right)=54,7e^{-0,25t}

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Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 6

Résoudre dans l’intervalle [0;+∞[\left[0 ; +\infty\right[[0;+∞[ l'équation différentielle (E)\left(E\right)(E).

Justifier que pour tout t≥0t\ge 0t≥0, f(t)=54,7e−0,25tf\left(t\right)=54,7e^{-0,25t}f(t)=54,7e−0,25t .

Résoudre dans l’intervalle $\left[0 ; +\infty\right[$ l'équation différentielle $\left(E\right)$ .

Justifier que pour tout $t\ge 0$ , $f\left(t\right)=54,7e^{-0,25t}$ .