Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle - Exercice 2

La fonction $$g$$ est une solution de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ si et seulement si :
$$g'\left(x\right)=-2g\left(x\right)+4x^{2}-8x+4$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$g'\left(x\right)={\color{blue}{4x-6}}$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$-2g\left(x\right)+4x^{2}-8x+4=-2\times \left(2x^{2}-6x+5\right)+4x^{2}-8x+4$$
$$-2g\left(x\right)+4x^{2} -8x+4=-4x^{2} +12x-10+4x^{2} -8x+4$$
$$-2g\left(x\right)+4x^{2} -8x+4={\color{blue}{4x-6}}$$
$$\text{\red{Il en résulte donc que :}}$$ $$g'\left(x\right)=-2g\left(x\right)+4x^{2}-8x+4$$
Nous venons donc de montrer que la fonction $$g$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$g\left(x\right)=2x^{2}-6x+5$$ est bien une solution de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ .