Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle - Exercice 3

La fonction $$g$$ est une solution de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ si et seulement si :
$$g'\left(x\right)=-8g\left(x\right)+22e^{3x}$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
Soit $$g\left(x\right)=2e^{3x}$$
Ici $$\blue{u\left(x\right)=3x}$$ et donc $$\red{u'\left(x\right)=3}$$
$$g'\left(x\right)=2\times\red{3}e^{\blue{3x}}$$
D'où :
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$-8g\left(x\right)+22e^{3x} =-8\times \left(2e^{3x} \right)+22e^{3x}$$
$$-8g\left(x\right)+22e^{3x} =-16e^{3x} +22e^{3x}$$
$$-8g\left(x\right)+22e^{3x}={\color{blue}{6e^{3x}}}$$
$$\text{\red{Il en résulte donc que :}}$$ $$g'\left(x\right)=-8g\left(x\right)+22e^{3x}$$
Nous venons donc de montrer que la fonction $$g$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$g\left(x\right)=2e^{3x}$$ est bien une solution de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ .