Etudier les variations avec la fonction x↦exx\mapsto e^{x} - Exercice 2

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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=−4ex−5xf\left(x\right)=-4e^{x}-5x
Question 1

Déterminer la fonction dérivée f′f' de ff .

Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • Soit f(x)=−4ex−5xf\left(x\right)=-4e^{x}-5x
    Il vient alors que :
    f′(x)=−4ex−5f'\left(x\right)=-4e^{x}-5
    Question 2

    Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) .

    Correction
    Nous savons que f′(x)=−4ex−5f'\left(x\right)=-4e^{x}-5
    Pour tout réel x∈Rx\in \mathbb{R} , on sait que ex>0e^{x}>0 ainsi −4ex<0-4e^{x}<0 . De plus −5<0-5<0 . Il en résulte donc que pour tout réel xx, on a : −4ex−5<0-4e^{x}-5<0 autrement dit f′(x)<0f'\left(x\right)<0 .
    Question 3

    En déduire les variations de ff sur R\mathbb{R} .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    D'après la question précédente, nous avons montré que pour tout réel xx, on a : f′(x)<0f'\left(x\right)<0
    Cela signifie que la fonction ff est décroissante sur R\mathbb{R} .
    Nous allons dresser le tableau de variation de ff.

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