Etudier les variations avec la fonction $$x\mapsto e^{x}$$ - Exercice 4

Soit $$f\left(x\right)=\left(4x+3\right)e^{x}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=4x+3$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=4$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=4e^{x} +\left(4x+3\right)e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=4e^{x} +4x\times e^{x} +3\times e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=4e^{x} +4xe^{x} +3e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=4x{\color{blue}{e^{x}}} +7{\color{blue}{e^{x}}}$$

D'après la question prédécente, nous savons que : $$f'\left(x\right)=e^{x}\left(4x+7\right)$$ .
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$. Il en résulte donc que le signe de $$f'$$ dépend alors du signe de $$4x+7$$.

Pour étudier le signe de $$f'$$, il nous faut donc étudier le signe de $$4x+7$$.
On va devoir résoudre l'inéquation $$4x+7\ge 0$$ . Il vient alors que :
$$4x+7\ge 0\Leftrightarrow 4x\ge -7\Leftrightarrow x\ge -\frac{7}{4} .$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$4x+7$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-\frac{7}{4}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-\frac{7}{4}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-\frac{7}{4};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :
$$f\left(-\frac{7}{4} \right)=\left(4\times\left(-\frac{7}{4} \right) +3\right)e^{-\frac{7}{4} }$$
$$f\left(-\frac{7}{4} \right)=\left(-7+3\right)e^{-\frac{7}{4} }$$
$$f\left(-\frac{7}{4} \right)=-4e^{-\frac{7}{4} }$$