Les primitives de la forme $$u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)}$$ sont $$e^{u\left(x\right)}$$ - Exercice 2

Soit $$f\left(x\right)=3e^{3x}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)=3x$$ et donc $$u'\left(x\right)=3$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\blue{3}\red{e^{3x}}$$
Il en résulte donc que les primitives de $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ sont les fonctions $$F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}+k$$ où $$k\in \mathbb{R}$$
Finalement, les fonctions sont les primitives de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

D'après la question $$1$$, nous savons que $$F\left(x\right)=\red{e^{3x}}+k$$ où $$k\in \mathbb{R}$$ . De plus, $$F\left(0\right)=6$$
Il vient alors que :
$$e^{3\times 0}+k=6$$
$$e^{0}+k=6$$
$$1+k=6$$
$$k=6-1$$
Ainsi :