Les primitives de la forme $$u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)}$$ sont $$e^{u\left(x\right)}$$ - Exercice 3

Soit $$f\left(x\right)=8xe^{x^{2}}+1.$$
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)={x^2}$$ et donc $$u'\left(x\right)=2x$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\purple{4}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}+1$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\purple{4}\times\blue{2x}\red{e^{x^2}}+1$$
Il en résulte donc que les primitives de $$f\left(x\right)=\purple{4}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}+1$$ sont les fonctions $$F\left(x\right)=\purple{4}\times\red{e^{x^2}}+x+k$$ où $$k\in \mathbb{R}$$
Finalement, les fonctions sont les primitives de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

D'après la question $$1$$, nous savons que $$F\left(x\right)=\purple{4}\times\red{e^{x^2}}+x+k$$ où $$k\in \mathbb{R}$$. De plus, $$F\left(0\right)=7$$
Il vient alors que :
$$4e^{0^2}+0+k=7$$
$$4e^{0}+k=7$$
$$4+k=7$$
$$k=7-4$$
Ainsi :